Théorème de bolzano weierstrass exemple

Nous pourrions dire que la séquence a été strictement croissante si nous voulions insister pour que nous allons toujours en montée. Un point crucial à noter est qu`il se pourrait que nous obtenons deux (ou plus) sous-séquences convergentes avec des limites différentes. Si est un sous-ensemble fermé limité de, est un sous-ensemble fermé de, et, alors il existe telle que pour chaque. Nous avons besoin de la ténacité pour obtenir la convergence une fois que nous avons une sous-séquence monotone, mais de ne pas obtenir cette sous-séquence en premier lieu. Cette forme du théorème rend particulièrement clair l`analogie avec le théorème de Heine-Borel, qui affirme qu`un sous-ensemble de RN est compact si et seulement si elle est fermée et délimitée. Nous allons ensuite passer à travers et choisir un terme de chaque intervalle. Ensuite, n 1 {displaystyle n_ {1}} n`est pas un pic, puisque n x m {displaystyle x_ {n} > x_ {m}} i. Puis, en particulier, vous savez que pour chaque il existe telle que. Le théorème de Bolzano-Weierstrass a de nombreuses applications à d`autres résultats en analyse réelle, comme le théorème qui dit qu`une fonction continue sur un intervalle fermé et délimité est délimitée et atteint ses limites.

Puisque chacun appartient à, la séquence est délimitée, de sorte qu`il a une suite convergente dans. Maintenant, n`est pas un sommet, il doit donc y avoir un point plus tard, dire avec. Nous continuons ce processus infiniment plusieurs fois. Pour les besoins de cette preuve, dire que le TH terme de la séquence est dominante si pour tous. Et ainsi de suite. Si nous marchons sur un terrain parfaitement plat, cela compte comme augmentant à nos fins. Donc doit appartenir à. Nous allons l`appliquer dans une autre section de ces notes pour donner une vue alternative de l`exhaustivité de.

Mais détient alors, ce qui implique que détient, par notre hypothèse sur la propriété. Parce que (x n) n n {displaystyle (x_ {n}) _ {nin mathbb {N}}} est délimité, cette séquence a une limite inférieure s {displaystyle s} et une limite supérieure S {displaystyle S}. Ainsi, il existe une sous-séquence de (x n) {displaystyle (x_ {n})} qui converge vers x {displaystyle x}. Le théorème de Bolzano-Weierstrass nous dit qu`il y a une sous-séquence qui converge vers une limite qui appartient également à. Lemma: toutes les séquences infinies (x n) {displaystyle (x_ {n})} dans R {displaystyle mathbb {R}} ont une sous-séquence monotone. Quelque 50 ans plus tard, le résultat a été identifié comme significatif dans son propre droit, et a prouvé à nouveau par Weierstrass. Tout d`abord, nous examinons les réciproque de la déclaration ci-dessus. Ainsi, par exemple, nous pouvons prendre le dernier terme dominant, et définir 1 = + 1. Cette technique est parfois connue sous le nom de chasse au Lion. Cas 1: il y a infiniment de sommets.

Le théorème est tout au sujet des séquences de nombres réels. Nous avons vu l`axiome de complétude pour les réals sous la forme du théorème de convergence monotone. Le non-vide nous dit immédiatement que nous pouvons trouver une séquence avec pour chaque.

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